我厂一名车间操作工作在夜间上班前途中发生交通事故,当时交警通知我公司,我公司立即通知该员工家属安排入院治疗,且该员工家属与造事方达成协议进行私了,造事方进行了相应的经济赔付,此时该员工与我公司劳动合同刚好终结,三个月后,该员工家属到公司要求进行工伤处理,公司是否还要对该员工负责?如何处理此事?