因式分解的常见变形技巧
技巧一 符号变换
有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。 体验题1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)
指点迷津 y-x= -(x-y)
体验过程
原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y)(m+n-m+n) =2n(x-y)
小结 符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公
式的条件不太清晰的情况下。
实践题1 分解因式：-a2-2ab-b2
实践详解 各项提出符号，可用平方和公式.
原式=-a2-2ab-b2
=-( a2+2ab+b2)
= -(a+b)2
技巧二 系数变换
有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。
1/8
体验题2
体验过程 分解因式 4x2-12xy+9y2 原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2
=(2x -3y)2
小结 系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情
况下。
实践题2 实践详解 12xyy2分解因式x 439xxyy原式=()2+2.+()2 2332
xy2=(+) 23
技巧三 指数变换
有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。
体验题3
指点迷津
体验过程 分解因式x4-y4 把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。 原式=(x2)2-(y2)2
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y)
小结 指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情
况下，指数变化后更易看出各项间的关系。
实践题3 分解因式 a4-2a4b4+b4
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指点迷津
实践详解 把a4看成(a2)2，b4=(b2)2 原式=(a2-b2)2
=(a+b)2(a-b)2
技巧四 展开变换
有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。
体验题4 a(a+2)+b(b+2)+2ab
指点迷津 表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。
体验过程 原式= a2+2a+b2+2b+2ab
= a2+ b2+2a+2b+2ab
= a2+ b2+2(a+b+ab)
小结 展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，
当于重新分组。
实践题4
指点迷津 x(x-1)-y(y-1) 表面上看无法分解因式，展开后试试：x2-x-y2+y。然后重新分组。
实践详解
原式= x2-x-y2+y =(x2-y2)-(x-y)
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=(x+y)(x-y)-(x-y)
=(x-y)(x+y-1)
技巧五 拆项变换
有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。
体验题5 分解因式3a3-4a+1
指点迷津 本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而
一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a试试。
体验过程 原式= 3a3-3a-a+1
=3a(a2-1)+1-a
=3a(a+1)(a-1)-(a-1)
=(a-1)[3a(a+1)-1]
=(a-1)(3a2+3a-1)
另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。
原式=3a3-4a+4-3
=3(a3-1)-4(a-1) =3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)
=(a-1)(3a2+3a+3-4)
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=(a-1)( 3a2+3a-1)
小结 拆项变化多用于缺项的情况，如整式3a3-4a+1，最高次
是三，其它的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。
实践题5 分解因式 3a3+5a2-2
指点迷津 三次项的系数为3，二次项的系数为5，提出公因式a2
后。下一步没法进行了。所以我们将5a2拆成3a2 +2a2,化为 3a3+3a2+2a2-2.
实践详解
原式=3a3+3a2+2a2-2 =3a2(a+1)+2(a2-1)
=3a2(a+1)+2(a+1)(a-1)
=(a+1)(3a2+2a-2)
技巧六 添项变换
有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后在考虑用其它的方法。
体验题6 分解因式x2+4x-12
指点迷津 本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。
因此考虑将其配成完全平方式再说。
体验过程 原式= x2+4x+4-4-12追答
技巧一 符号变换
有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。 体验题1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)
指点迷津 y-x= -(x-y)
体验过程
原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y)(m+n-m+n) =2n(x-y)
小结 符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公
式的条件不太清晰的情况下。
实践题1 分解因式：-a2-2ab-b2
实践详解 各项提出符号，可用平方和公式.
原式=-a2-2ab-b2
=-( a2+2ab+b2)
= -(a+b)2
技巧二 系数变换
有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。
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体验题2
体验过程 分解因式 4x2-12xy+9y2 原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2
=(2x -3y)2
小结 系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情
况下。
实践题2 实践详解 12xyy2分解因式x 439xxyy原式=()2+2.+()2 2332
xy2=(+) 23
技巧三 指数变换
有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。
体验题3
指点迷津
体验过程 分解因式x4-y4 把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。 原式=(x2)2-(y2)2
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y)
小结 指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情
况下，指数变化后更易看出各项间的关系。
实践题3 分解因式 a4-2a4b4+b4
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指点迷津
实践详解 把a4看成(a2)2，b4=(b2)2 原式=(a2-b2)2
=(a+b)2(a-b)2
技巧四 展开变换
有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。
体验题4 a(a+2)+b(b+2)+2ab
指点迷津 表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。
体验过程 原式= a2+2a+b2+2b+2ab
= a2+ b2+2a+2b+2ab
= a2+ b2+2(a+b+ab)
小结 展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，
当于重新分组。
实践题4
指点迷津 x(x-1)-y(y-1) 表面上看无法分解因式，展开后试试：x2-x-y2+y。然后重新分组。
实践详解
原式= x2-x-y2+y =(x2-y2)-(x-y)
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=(x+y)(x-y)-(x-y)
=(x-y)(x+y-1)
技巧五 拆项变换
有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。
体验题5 分解因式3a3-4a+1
指点迷津 本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而
一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a试试。
体验过程 原式= 3a3-3a-a+1
=3a(a2-1)+1-a
=3a(a+1)(a-1)-(a-1)
=(a-1)[3a(a+1)-1]
=(a-1)(3a2+3a-1)
另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。
原式=3a3-4a+4-3
=3(a3-1)-4(a-1) =3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)
=(a-1)(3a2+3a+3-4)
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=(a-1)( 3a2+3a-1)
小结 拆项变化多用于缺项的情况，如整式3a3-4a+1，最高次
是三，其它的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。
实践题5 分解因式 3a3+5a2-2
指点迷津 三次项的系数为3，二次项的系数为5，提出公因式a2
后。下一步没法进行了。所以我们将5a2拆成3a2 +2a2,化为 3a3+3a2+2a2-2.
实践详解
原式=3a3+3a2+2a2-2 =3a2(a+1)+2(a2-1)
=3a2(a+1)+2(a+1)(a-1)
=(a+1)(3a2+2a-2)
技巧六 添项变换
有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后在考虑用其它的方法。
体验题6 分解因式x2+4x-12
指点迷津 本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。
因此考虑将其配成完全平方式再说。
体验过程 原式= x2+4x+4-4-12追答
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