求非齐次线性方程组的一个解x1+x2=5,2x1+x2+x3+2x4=1,5x1+3x2+2x3+2x4=3

Question

及对应的齐次线性方程组的基础解系
同题，x1-5x2+2x3-3x4=11,5x1+3x2+6x3-x4=-1，2x1+4x2+2x3+x4=-6.求详细解答过程啊，高手们。

Answer 1

x1+x2=5 (1)

2x1+x2+x3+2x4=1 (2)

5x1+3x2+2x3+2x4=3 (3)

(3)-(2):3x1+2x2+x3=2

x3=2-(3x1+2x2)=2-2(x1+x2)-x1=-8-x1

由(1)得：x2=5-x1

分别代入(2)得:2x1+5-x1+(-8-x1)+2x4=1

-3+2x4=1

x4=2

所以方程组的解是：

x1=t

x2=5-t

x3=-8-t

x4=2

比如t=0时

x1=0

x2=5

x3=-8

x4=2

扩展资料：

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

一、对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

二、若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

三、设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，即可写出含n-r个参数的通解。

参考资料来源：百度百科-非齐次线性方程组

Answer 2

齐次增广矩阵
C =
1 1 0 0 5
2 1 1 2 1
5 3 2 2 3

化为阶梯型
C=
1 0 1 0 -8
0 1 -1 0 13
0 0 0 1 2

由于R（A）=R(C)=3<4
故该方程有（4-3）=1个基础解系，
特解为
x =
-8
13
0
2
通解为
y=
-1
1
1
0
齐次方程的解为X=x+ky，其中k为实数

第二题
同样方法
齐次增广矩阵
D =
1 -5 2 -3 11
5 3 6 -1 -1
2 4 2 1 -6

化为阶梯型
D=

1 0 9/7 -1/2 1
0 1 -1/7 -1/2 1
0 0 0 0 0

由于R（A）=R(C)=2<4
故该方程有（4-2）=2个基础解系，
特解为
x =
0
-17/9
7/9
0

通解为
y1=
-9/7
1/7
1
0
y2=
1/2
1/2
0
1

齐次方程的解为X=x+k1*y1+k2*y2，其中k1,k2为实数