解:见下图:(1)依题意列方程:12-2t=4t,t=2,此时PB=BQ=8(cm)
(2)依题意:16-4t=√[12^2+(4t)^2];方程两边同时平方,得:16^2-8*16t+(4t)^2=12^2+(4t)^2;
整理,得:8*16t=(16+12)(16-12)=7*16;t=7/8,此时,AQ=CQ=16-4*7/8=11.5(cm)
(3)因此,不存在t使PQ分割三角形ABC为两部分,使两部分的面积和周长的面积和周长同时是另一部分的2倍。因为相似三角形的周长的平方比是面积比,当面积比大约为1:4,才会有周长比为1:2;尽管这不是相似三角形,但是,比例相差不会太大。
我们可以试做一下:依题意:Spbq=(1/2)(PB*PQ)=(1/2)(12-2t)(4t)=(1/3)*(1/2)(12*16);
4t^2-2*12t+2*16=4(t^2-6t-8)=4(t-2)(t-4)=0;t1=2.t2=4.
当t=2时,PB=12-2t=8(cm),BQ=4t=8(cm),PQ=4√2(pm);
Lpbq=8+8+4√2=16+4√2(cm); Lapqc=25+16-8+12-8+4√2=37+4√2(cm)<2Lpaq。
当t=4时,PB=12-2*4=4(cm)=(1/3)AB, BQ=BC=16(cm);Lpbq=16+4+4√17=20+4√17;
Lapc=25+8+4√17=33+4√17<2Lpbq; 这个结论说明了前面的结论是正确的。