用数学归纳法证明: 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=1/3n(n+1)(n+2)

Question

用数学归纳法证明: 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=1/3n(n+1)(n+2)

Answer 1

当n=1时，1*2=1*(1+1)*(1+2)/3, 该等式成立

现在假设n=k时，1*2+2*3+...+k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3 成立 k为自然数

则当n=k+1时，1*2+2*3+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)
=k(k+1)(k+2)/3+(k+1)(k+2)
=(k/3+1)(k+1)(k+2)
=(k+1)(k+1+1)(k+1+2)/3

即，当n=k+1时也成立

所以该等式对所有n都成立

Answer 2

n=1时，2=2，原式成立；
设n=k时成立，即1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)=1/3k(k+1)(k+2);
n=k+1时，原式左边=1*2+2*3+3*4+...+k(k+1）+[(k+1)(k+2)]=1/3k(k+1)(k+2)+[(k+1)(k+2)]
=(k+1)(k+2)(1/3k+1)=1/3(k+1)(k+2)(k+3);
原式右边=1/3(k+1)(k+2)(k+3);
即原式左边=原式右边；
所以n=k+1时也成立；
所以1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=1/3n(n+1)(n+2)。