设连续函数f(x)满足f(x)+2∫[0→x]f(t)d t=x^2,则f(x)=__________. 请老师讲解一下过程，谢谢您了

Answer 1

f(x)+2∫(0->x) f(t) dt=x^2
f'(x) + 2f(x) = 2x
let
yg= Ae^(-2x)
yp =Cx +D
yp' + 2yp = 2x
C + 2Cx +2D =2x
2Cx + (C+2D) =2x
=> C=1 and D=-1/2
y = yg+yp
=Ae^(-2x) + x -1/2
y(0) =0
A- 1/2 =0
A=1/2
ie
f(x) =(1/2)e^(-2x) + x -1/2

Answer 2

本题可以这么做，方程两边对x求导，得f'(x)+2f(x)=2x,这是一阶线性微分方程，将其化为标准形式：
y'+p(x)y=q(x),对于标准形式的一阶线性微分方程，有通解为：y=e^-∫p(x)dx[C+∫q(x)e^∫p(x)dxdx],本题中y=f(x),故可由如上公式代入计算得出f(x)=x-1/2+Ce^(-2x).再在原条件中令x=0，代入可得f(0)=0,从而C=1/2。
这种题目是最基本得微分方程题，就用这个公式做，公式的推导可由标准形式下的计算得到，LZ有兴趣不妨一试。希望能帮到你，给个最佳答案吧~

Answer 3

两边同时对x求导,得f'(x)+2f(x)=2x,套一阶非齐次线性方程求解公式可得
f(x)=c*e^(-2x)+x-1/2,利用隐含条件f(0)=0,得c=1/2